[이코테] 서로소 알고리즘

서로소 집합

수학에서 서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다. 예를 들어 집합[1,2]과 집합[3,4]은 서로소 관계이다. 반면에 집합 [1,2]와 집합 [2,3]은 2라는 원소가 두 집합에 공통적으로 포함되어 있기 때문에 서로소 관계가 아니다.

 

서로소 집합 자료구조는 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다.

서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.

find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 스택과 큐가 각각 push(넣기), pop(꺼내기) 연산으로 이루어진 것처럼,서로소 집합 자료구조는 합집합과 찾기 연산으로 구성된다.

 

서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다. 연산의 이름 자체가 합치기와 찾기이기도 하고, 두 집합이 서로소 관계인지를 확인할 수 있다는말은 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지를 확인할 수 있다는 말과 같기 때문이다.

 

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하는데, 서로소 집합 정보가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

 

서로소 집합 자료구조

1.union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다.

 1-1 A와 B의 루트 노드 A`,B`를 각각 찾는다.

 1-2 A`를 B`의 부모 노드로 설정한다(B`가 A`를 가리키도록 한다).

 가리킨다는 의미는 부모 노드로 설정한다는 의미이다.

2.모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

 

코드

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
  #루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때 까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent,parent[x])
  return x

#두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
  a = find_parent(parent,a)
  b = find_parent(parent,b)
  if a<b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

#노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0]*(v+1)

#부모 테이블상에서 , 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
  parent[i] = i

#union 연산을 각자 수행
for i in range(e):
  a,b = map(int,input().split())
  union_parent(parent,a,b)

#각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end= '')
for i in range(1,v+1):
  print(find_parent(parent,i), end = ' ')

print()

#부모 테비을 내용 출력
print('부모 테이블: ',end=' ')
for i in range(1,v+1):
  print(parent[i],end=' ')

결과

이렇게 구현하면 답을 구할 수 있지만 find함수에서 비효율적인 동작을 하게 된다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인하기 때문에 시간 복잡도가 O(V)가 된다.

 

[1,2,3,4,5]의 총 5개의 원소가 존재하는 상황에서 모두 같은 집합에 속하는 경우를 가정해본다면, 구체적으로 4개의 union 연산이 순서대로 (4,5) , (3,4) , (2,3) , (1,2,)와 같이 주어졌다면 이때 차례대로 연산을 처리하게 되면 다음과 같이 일렬로 나열하게 된다.

 

결과적으로 현재의 알고리즘을 이용하게 되면 노드의 개수가 V개이고 find혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, 전체 시간 복잡도 O(VM)이 되어 비효율 적이다.

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find_parent 함수 최적화

find함수는 아주 간단한 과정으로 최적화가 가능하다. 바로 경로 압축 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다. 

 

def find_parent(parent,x):
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    retrun parent[x]

 

이렇게 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다. 아까와 동일하게 [1,2,3,4,5]의 총 5개의 원소가 존재하는 상황에서 4개의 union연산이 순서대로 (4,5), (3,4), (2,3), (1,2)와 같이 주어졌다고 한다면, 이때 모든 union 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 find 함수를 수행하면 1을 가리키는 부모 테이블이 형성된다. 결과적으로 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수 있다는 점에서 기존의 기본적인 알고리즘과 비교했을 때 시간 복잡도가 개선된다.