[이코테] 플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)

플로이드 워셜 알고리즘

저번에 공부했던 다익스트라 알고리즘은 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘이다. 이번에 공부할 플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 

 

다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용하였다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘에서는 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 그렇기 때문에 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다.

 

또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인 반면에, 플로이드 워셜 알고리즘은 다이내믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이내믹 프로그래밍으로 볼 수 있다. 결과적으로 전체 시간 복잡도는 O(N^3)이라고 할 수 있다. 

플로이드 워셜 알고리즘

위의 이미지를 말로 풀어 설명하자면 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용' 을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다. 즉 ' 바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다.

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플로이드 워셜 알고리즘 구현 코드

#플로이드 워셜 알고리즘

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
node = int(input())
line = int(input())

#2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph =[[INF]*(node+1) for _ in range(node+1)]

#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,node+1):
  for b in(range(1,node+1)):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(line):
  #A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a,b,c = map(int,input().split())
  graph[a][b] = c
#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1,node+1):
  for a in range(1,node+1):
    for b in range(1,node+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

#수행된 결과를 출력
for a in range(1,node+1):
  for b in range(1,node+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(INF)으로 출력
    if graph[a][b] == 'INF':
      print('INF',end = ' ')
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(graph[a][b],end =' ')
  print()

결과